Calculatrice de probabilité

Comment utiliser la calculatrice

1. Choisissez le mode : deux événements indépendants pour combiner deux probabilités, ou épreuves répétées si la même expérience est renouvelée plusieurs fois.
2. Saisissez les probabilités en pourcentage, de 0 à 100. Obtenir pile vaut 50 ; obtenir un six avec un dé, 16,67.
3. En mode épreuves répétées, indiquez le nombre d'essais n (de 1 à 1 000) et le nombre de succès k qui vous intéresse ; k ne peut pas dépasser n.
4. Lisez les résultats : P(A et B), P(A ou B), un seul, aucun et non A pour deux événements ; exactement k, au plus k, au moins k, au moins un succès et espérance pour les épreuves répétées.

Formules et hypothèses

Les deux modes supposent l'indépendance : la réalisation d'un événement ne modifie pas la probabilité de l'autre. Des lancers de dé ou de pièce sont indépendants ; des tirages de cartes sans remise ne le sont pas.

Deux événements indépendants

• Les deux : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
• Au moins un : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B)
• Un seul des deux : P(A) + P(B) − 2 × P(A) × P(B)
• Aucun : (1 − P(A)) × (1 − P(B))
• Événement contraire : P(Ā) = 1 − P(A)

Épreuves répétées : la loi binomiale

On répète n fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p. Le nombre de succès X suit la loi binomiale B(n ; p) :

P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

où C(n, k), le coefficient binomial « k parmi n », compte les façons de placer les k succès. P(X ≤ k) cumule les termes de 0 à k ; P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k) + P(X = k). La probabilité d'au moins un succès vaut 1 − (1 − p)ⁿ et l'espérance E(X) = n × p. Le calcul passe par les logarithmes des factorielles pour rester précis lorsque n est grand.

Exemples

1. Le problème du chevalier de Méré

Au XVIIe siècle, le chevalier de Méré pariait qu'il obtiendrait au moins un six en 4 lancers d'un dé, puis au moins un double six en 24 lancers de deux dés. Pascal et Fermat ont montré que les deux paris ne se valent pas :

Le premier pari est favorable, le second légèrement perdant : il faut 25 lancers pour passer au-dessus de 50 %.

2. Deux réveils

Chacun de vos deux réveils sonne dans 95 % des cas, indépendamment l'un de l'autre. La probabilité qu'au moins un sonne est de 99,75 %, celle qu'aucun ne sonne de 0,25 % seulement, et celle que les deux sonnent de 90,25 %.

3. Dix lancers de pièce

Avec p = 50 %, n = 10 et k = 7, la probabilité d'obtenir exactement 7 piles est de 11,72 % et celle d'en obtenir au moins 7, de 17,19 %. L'espérance est de 5 piles.

Interpréter les résultats

Une probabilité décrit une fréquence sur un grand nombre de répétitions, pas le résultat d'un essai particulier. Une probabilité de 17 % d'obtenir au moins 7 piles signifie qu'environ 17 séries de 10 lancers sur 100 se terminent ainsi.

Vérifiez toujours l'hypothèse d'indépendance. Deux réveils branchés sur la même prise, la météo de deux jours consécutifs ou des pièces issues d'un même lot défectueux sont liés : multiplier leurs probabilités sous-estime le risque que les problèmes arrivent ensemble.