Calculatrice de permutations et d'arrangements
Cette calculatrice de permutations compte le nombre de façons d'ordonner k éléments choisis parmi n éléments distincts : ce sont les arrangements, ou k-uplets d'éléments distincts. Lorsque vous ordonnez tous les éléments (k = n), il s'agit de permutations, au nombre de n!. Cochez « avec répétition » pour les codes où un élément peut revenir. Le résultat est exact au chiffre près, avec en prime les combinaisons et n!.
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Résultats
- Écriture scientifiquePour les résultats de plus de 15 chiffres
- Combinaisons « k parmi n »Sans ordre et sans répétition
- Factorielle de n (n!)Valeur approchée seulement au-delà de n = 170
- Nombre de chiffres du résultat
Les résultats sont des estimations. Consultez la méthode ci-dessous.
Mode d'emploi
- n : nombre d'éléments distincts disponibles (de 0 à 1 000).
- k : nombre d'éléments à placer dans un ordre donné (de 0 à 1 000). Sans répétition, il ne peut pas dépasser n.
- Avec répétition : cochez la case si un même élément peut être utilisé plusieurs fois, comme les chiffres d'un code PIN.
Vous obtenez le nombre d'arrangements (chiffres groupés par trois), une écriture scientifique au-delà de 15 chiffres, les combinaisons sans répétition, n! et le nombre de chiffres du résultat.
Formules du dénombrement
Le programme de spécialité mathématiques de terminale générale traite ces notions dans la partie « Combinatoire et dénombrement » : k-uplets d'un ensemble à n éléments, k-uplets d'éléments distincts, permutations, définition de n! et combinaisons.
Arrangements (k-uplets d'éléments distincts)
La première place peut être occupée par n éléments, la deuxième par n − 1, et ainsi de suite jusqu'à la k-ième :
A(n, k) = n × (n − 1) × … × (n − k + 1) = n! / (n − k)!
On le note aussi Aₙᵏ ; les calculatrices anglo-saxonnes l'appellent nPr.
Permutations
Pour k = n, on ordonne l'ensemble entier : n!. Par convention 0! = 1, donc A(n, 0) = 1.
k-uplets avec répétition
Chacune des k places peut recevoir n'importe lequel des n éléments : nᵏ.
Combinaisons
Si l'ordre ne compte pas, chaque groupe de k éléments correspond à k! arrangements, d'où le coefficient binomial « k parmi n » : C(n, k) = n! / (k! (n − k)!). La ligne Combinaisons affiche toujours la valeur sans répétition, même si la case est cochée.
Le calcul utilise des entiers de précision arbitraire : aucun arrondi. L'écriture scientifique est arrondie à six chiffres significatifs. n! s'affiche en entier jusqu'à n = 170.
Exemples
1. Le podium d'une course
Huit coureurs disputent une finale. Combien de podiums différents (or, argent, bronze) ? n = 8, k = 3, sans répétition : 336 arrangements. Si seul compte le trio sur le podium, il y a C(8, 3) = 56 combinaisons.
2. Le bureau d'une association
Parmi 20 adhérents, on élit un président, un trésorier et un secrétaire, personne ne cumulant deux postes : A(20, 3) = 6 840 bureaux possibles. Un groupe de trois personnes sans fonction précise ne donne que C(20, 3) = 1 140 choix.
3. Codes, anagrammes et cartes
| Situation | n | k | Répétition | Résultat |
|---|---|---|---|---|
| Code PIN à 4 chiffres | 10 | 4 | Oui | 10 000 |
| Code à 4 chiffres tous différents | 10 | 4 | Non | 5 040 |
| Code de 3 lettres (26 lettres) | 26 | 3 | Oui | 17 576 |
| Anagrammes de MATHS | 5 | 5 | Non | 120 |
| Ordres possibles d'un jeu de 32 cartes | 32 | 32 | Non | 2,63131 × 10^35 (36 chiffres) |
Le calcul des anagrammes suppose des lettres toutes différentes. Si une lettre revient, divisez n! par la factorielle du nombre d'apparitions de chaque lettre : échanger deux lettres identiques ne crée pas de nouveau mot.
Questions fréquentes
Quelle différence entre arrangement, permutation et combinaison ?
Un arrangement choisit k éléments parmi n en tenant compte de l'ordre. Une permutation est un arrangement de tous les éléments (k = n). Une combinaison ignore l'ordre. Avec 10 personnes : A(10, 3) = 720 mais C(10, 3) = 120.
Comment calculer un arrangement à la main ?
Multipliez k nombres entiers décroissants en partant de n. Pour A(10, 3) : 10 × 9 × 8 = 720. C'est la même chose que 10! / 7!, sans calculer ces grandes factorielles.
Quand faut-il cocher « avec répétition » ?
Quand un élément peut réapparaître à une autre place : chiffres d'un code, lettres d'un mot de passe, résultats de lancers de dé successifs. Avec n = 5 et k = 3, on obtient 125 avec répétition contre 60 sans.
Pourquoi un message d'erreur quand k dépasse n ?
Sans répétition, on ne peut pas remplir plus de places qu'il n'y a d'éléments : impossible de distribuer 5 postes différents à 3 personnes. Cochez « avec répétition » si les éléments peuvent être réutilisés.
Pourquoi 0! vaut-il 1 ?
C'est une convention qui rend les formules cohérentes : n! / (n − k)! reste valable pour k = n. Et il y a exactement une façon de ne rien choisir.
Sources
Les résultats sont des dénombrements exacts pour les valeurs saisies. L'écriture scientifique est tronquée à six chiffres significatifs.