Calculatrice de combinaisons

Mode d'emploi

1. Nombre total d'éléments (n) : la taille de l'ensemble, par exemple les 49 numéros du Loto ou les 32 cartes d'un jeu de belote. Entier de 0 à 1 000.
2. Nombre d'éléments choisis (k) : combien vous en prenez. Sans répétition, k ne peut pas dépasser n.
3. Avec répétition : cochez la case si un même élément peut être choisi plusieurs fois (deux boules du même parfum, par exemple).

Le résultat principal s'affiche avec les chiffres groupés par trois. Au-delà de 15 chiffres, une valeur approchée en notation scientifique apparaît aussi. Suivent la probabilité d'une combinaison donnée (1 chance sur C) et le nombre d'arrangements.

Formules utilisées

Sans répétition, le nombre de combinaisons est le coefficient binomial :

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Avec répétition, on compte des multi-ensembles, et la formule devient :

C(n + k − 1, k)

Pour comparer, la calculatrice affiche les arrangements, où l'ordre compte : A(n, k) = n! / (n − k)! sans répétition et n^k avec répétition (on parle alors de k-listes). Chaque groupe de k éléments peut être ordonné de k! façons, d'où A(n, k) = C(n, k) × k!.

Les calculs se font sur des entiers en précision arbitraire, en multipliant et divisant pas à pas plutôt qu'en calculant des factorielles complètes. Le résultat est donc exact, sans arrondi. La probabilité vaut 1 ÷ C(n, k), en supposant que toutes les combinaisons sont équiprobables.

Exemples détaillés

1. Le Loto de la FDJ

Au Loto, vous cochez 5 numéros de 1 à 49, puis 1 numéro Chance de 1 à 10. Les 5 numéros : C(49, 5) = 1 906 884 combinaisons. Le numéro Chance : C(10, 1) = 10. En multipliant, on obtient 19 068 840 grilles différentes, donc une chance sur 19 068 840 de trouver les 5 bons numéros et le numéro Chance avec une grille.

2. Une main à la belote

Avec un jeu de 32 cartes et une main de 8 cartes, il existe C(32, 8) = 10 518 300 mains possibles. Si l'ordre de distribution comptait, on aurait 424 097 856 000 arrangements, soit 40 320 fois plus (8!).

3. Ordre ou désordre

Bien lire le résultat

Deux questions suffisent pour choisir le bon modèle. L'ordre compte-t-il ? Si {A, B, C} et {C, B, A} sont le même tirage, ce sont des combinaisons ; sinon (podium, code, classement), regardez les arrangements. Un élément peut-il revenir ? Les boules d'un tirage et les cartes ne reviennent pas ; les parfums d'une glace, si.

Pour un jeu de hasard, la probabilité suppose un tirage équitable et concerne une grille et un tirage. Rejouer les mêmes numéros ou choisir ceux qui « ne sortent pas » ne change rien.