Kombinationen-Rechner: n über k exakt

So benutzen Sie den Rechner

Anzahl der Elemente (n): die Größe der Grundmenge, etwa die 49 Zahlen beim Lotto oder die 32 Karten beim Skat. Ganze Zahlen von 0 bis 1.000.
Anzahl der ausgewählten Elemente (k): wie viele Sie ziehen. Ohne Wiederholung darf k nicht größer als n sein.
Mit Wiederholung: anhaken, wenn dasselbe Element mehrfach gewählt werden darf, zum Beispiel zwei Kugeln derselben Eissorte.

Das Hauptergebnis erscheint mit Leerzeichen als Tausendertrennung. Hat es mehr als 15 Stellen, zeigt der Rechner zusätzlich einen gerundeten Wert in wissenschaftlicher Schreibweise. Darunter stehen die Chance für eine bestimmte Kombination (als „1 : C“ und in Prozent) und die Variationen.

Formeln

Kombinationen ohne Wiederholung (ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen) sind der Binomialkoeffizient:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Kombinationen mit Wiederholung (ungeordnet, mit Zurücklegen):

C(n + k − 1, k)

Zum Vergleich zeigt der Rechner die Variationen, also geordnete Stichproben: n! / (n − k)! ohne Wiederholung und n^k mit Wiederholung. Weil sich jede Auswahl von k Elementen auf k! Arten anordnen lässt, gilt: Variationen = C(n, k) · k!.

Gerechnet wird mit ganzen Zahlen beliebiger Genauigkeit, schrittweise multipliziert und geteilt statt über vollständige Fakultäten. Dadurch ist jede Stelle exakt, es gibt keine Rundung wie bei Gleitkommazahlen. Die Wahrscheinlichkeit ist 1 ÷ C(n, k) und setzt voraus, dass alle Kombinationen gleich wahrscheinlich sind (Laplace-Experiment).

Rechenbeispiele

1. Lotto 6aus49 mit Superzahl

Beim Lotto 6aus49 kreuzen Sie 6 Zahlen von 1 bis 49 an. Zusätzlich wird eine Superzahl von 0 bis 9 gezogen; Ihre Superzahl ist die letzte Ziffer der Spielscheinnummer. Der Rechner beantwortet beide Teile nacheinander: Mit n = 49 und k = 6 erhalten Sie 13.983.816 mögliche Tipps, mit n = 10 und k = 1 die 10 möglichen Superzahlen. Für die Gewinnklasse 1 (6 Richtige plus Superzahl) multiplizieren Sie beide Ergebnisse: 13.983.816 · 10 = 139.838.160. Ein einzelnes Tippfeld hat also eine Chance von 1 zu 139.838.160.

2. Skat: Ihr Blatt

Beim Skat bekommt jeder der drei Spieler 10 der 32 Karten. Für Ihr eigenes Blatt gibt es C(32, 10) = 64.512.240 Möglichkeiten. Würde die Reihenfolge der Karten zählen, wären es 234.102.016.512.000 Variationen.

3. Mit und ohne Reihenfolge

Situation	Eingabe	Ergebnis
5 von 11 Spielern fürs Elfmeterschießen	n = 11, k = 5	462
Dieselben 5 mit festgelegter Schützenreihenfolge	Variationen	55.440
Klassensprecher-Duo aus 22 Schülern	n = 22, k = 2	231
4 Kugeln Eis aus 12 Sorten, Wiederholung erlaubt	n = 12, k = 4, mit Wiederholung	1.365

Ergebnis richtig deuten

Zwei Fragen entscheiden über das Modell. Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Wenn {A, B, C} und {C, B, A} dasselbe Ergebnis sind, rechnen Sie mit Kombinationen; bei Podestplätzen, PINs oder Ranglisten mit Variationen. Wird zurückgelegt? Lottokugeln und Spielkarten nicht, Eissorten schon.

Bei Glücksspielen gilt die Wahrscheinlichkeit für einen fairen Zufallszug, ein Tippfeld und eine Ziehung. Lieblingszahlen oder „überfällige“ Zahlen verändern sie nicht.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Kombination und Variation?

Bei der Kombination ist die Reihenfolge egal, bei der Variation nicht. 5 Schützen aus 11 Spielern auszuwählen ergibt 462 Kombinationen; legen Sie zusätzlich die Reihenfolge fest, sind es 55.440 Variationen.

Wie rechne ich „n über k“ auf dem Taschenrechner?

Schulrechner haben dafür meist die Taste nCr. Dieser Rechner liefert denselben Wert, zeigt aber alle Stellen exakt, auch wenn das Ergebnis die Anzeige eines Taschenrechners sprengen würde.

Was ist „n über 0“?

Immer 1, denn es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auszuwählen. Ebenso ist „n über n“ = 1. Wegen der Symmetrie C(n, k) = C(n, n − k) ist „49 über 6“ gleich „49 über 43“.

Warum erscheint eine Fehlermeldung, wenn k größer als n ist?

Ohne Wiederholung können Sie nicht mehr verschiedene Elemente ziehen, als vorhanden sind; die Anzahl wäre null. Setzen Sie den Haken bei „Mit Wiederholung“, wenn Elemente mehrfach vorkommen dürfen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es für den Skat?

Kennen Sie Ihre 10 Karten, bleiben 22 unbekannte übrig, von denen 2 im Skat liegen. Mit n = 22 und k = 2 ergibt das 231 mögliche Skats. Die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Skat ist also 1 zu 231.

Wie groß dürfen n und k sein?

Bis 1.000. „100 über 50“ hat zum Beispiel 30 Stellen; der Rechner zeigt alle und ergänzt den gerundeten Wert in wissenschaftlicher Schreibweise: 1,00891 × 10^29.

Quellen

Die Ergebnisse sind exakte Abzählungen unter der Annahme gleich wahrscheinlicher Fälle. Gewinnwahrscheinlichkeiten dienen nur der Information und sind keine Spielempfehlung; maßgeblich sind die offiziellen Teilnahmebedingungen.