Wahrscheinlichkeitsrechner

So nutzen Sie den Rechner

1. Modus wählen: Zwei unabhängige Ereignisse, um zwei Wahrscheinlichkeiten zu kombinieren, oder Wiederholte Versuche für ein Zufallsexperiment, das mehrmals durchgeführt wird.
2. Wahrscheinlichkeiten in Prozent eingeben, von 0 bis 100. Kopf beim Münzwurf ist 50, eine bestimmte Augenzahl beim Würfeln 16,67.
3. Bei wiederholten Versuchen zusätzlich die Anzahl der Versuche n (1 bis 1.000) und die gesuchte Trefferzahl k eintragen. k darf nicht größer als n sein.
4. Ergebnis ablesen: Im ersten Modus erscheinen P(A und B), P(A oder B), genau eines, keines und Gegenereignis; im zweiten genau k, höchstens k, mindestens k, mindestens ein Treffer und Erwartungswert.

Formeln und Voraussetzungen

Beide Modi setzen stochastische Unabhängigkeit voraus: Das Eintreten des einen Ereignisses ändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht. Würfel- und Münzwürfe sind unabhängig, das Ziehen von Karten ohne Zurücklegen ist es nicht.

Zwei unabhängige Ereignisse

• Beide: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
• Mindestens eines: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) · P(B)
• Genau eines: P(A) + P(B) − 2 · P(A) · P(B)
• Keines: (1 − P(A)) · (1 − P(B))
• Gegenereignis: P(Ā) = 1 − P(A)

Wiederholte Versuche: Bernoulli-Kette

Wird ein Bernoulli-Experiment mit Trefferwahrscheinlichkeit p n-mal unabhängig wiederholt, ist die Trefferzahl X binomialverteilt. Nach der Bernoulli-Formel gilt:

B(n; p; k) = P(X = k) = (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k) summiert die Werte von 0 bis k, und P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k) + P(X = k). Für mindestens einen Treffer gilt 1 − (1 − p)ⁿ, der Erwartungswert ist μ = n · p. Intern rechnet der Rechner mit Logarithmen der Fakultäten, damit auch große n genau bleiben.

Beispiele

1. Eine Sechs bei „Mensch ärgere Dich nicht“

Stehen alle Figuren noch im Haus, dürfen Sie dreimal würfeln, um eine Sechs zu bekommen. Mit p = 16,67 %, n = 3 und k = 1 liegt die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs bei 42,14 %. In mehr als der Hälfte der Fälle bleiben Sie also eine weitere Runde draußen.

2. Zwei Anschlusszüge

Angenommen, der erste Zug ist mit 80 % pünktlich und der zweite mit 90 %, unabhängig voneinander. Dann sind beide mit 72 % pünktlich, mindestens einer mit 98 %, genau einer mit 26 % und keiner mit 2 %. In der Praxis hängen Verspätungen oft zusammen, etwa bei einer Störung auf derselben Strecke; dann ist die Rechnung zu optimistisch.

3. Zehnmal würfeln

Wie wahrscheinlich sind Sechsen bei zehn Würfen (p = 16,67 %, n = 10, k = 2)?

Ergebnisse richtig deuten

Eine Wahrscheinlichkeit beschreibt die relative Häufigkeit bei sehr vielen Wiederholungen, nicht den Ausgang eines einzelnen Versuchs. 29 % für genau zwei Sechsen heißt: Von 100 Serien mit je zehn Würfen enden etwa 29 so. In einer einzelnen Serie ist jedes Ergebnis möglich.

Prüfen Sie vor allem die Unabhängigkeit. Wetter an aufeinanderfolgenden Tagen, Bauteile aus derselben fehlerhaften Charge oder Züge auf derselben Strecke sind gekoppelt. Wer dort einfach multipliziert, unterschätzt, wie oft Probleme gemeinsam auftreten.