Standardabweichung-Rechner

So nutzen Sie den Rechner

1. Werte eingeben: mit Semikolon getrennt oder einen pro Zeile, zum Beispiel 498; 502; 500; 497; 503; 501. Sie können auch eine Spalte aus Excel einfügen.
2. Dezimalkomma verwenden und keine Tausenderpunkte setzen: 1250,5 statt 1.250,5.
3. Stichprobe oder Grundgesamtheit wählen: Stichprobe, wenn Ihre Daten nur einen Ausschnitt darstellen und Sie auf eine größere Gesamtheit schließen möchten (Umfrage, Prüflos, einige Wochen Messdaten). Grundgesamtheit, wenn wirklich alle Werte vorliegen.
4. Ergebnis ablesen: Zuerst erscheint die Standardabweichung, danach Varianz, Mittelwert, Anzahl, Summe und Standardfehler. Der Variationskoeffizient wird nur angezeigt, wenn der Mittelwert nicht null ist.

Eine Stichprobe braucht mindestens zwei Werte; insgesamt sind bis zu 10.000 Werte möglich.

Formeln und Berechnung

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz, also aus der mittleren quadratischen Abweichung vom Mittelwert:

• Grundgesamtheit: σ² = Σ(xᵢ − μ)² ÷ n und σ = √σ²
• Stichprobe: s² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) und s = √s²

Die Division durch n − 1 (Bessel-Korrektur) macht die Stichprobenvarianz zu einem erwartungstreuen Schätzer der Varianz der Grundgesamtheit. Der Mittelwert einer Stichprobe liegt immer näher an ihren eigenen Werten als der wahre Mittelwert; mit n würde die Streuung daher unterschätzt. Auf Taschenrechnern heißen die beiden Varianten meist σx bzw. sx.

Der Standardfehler des Mittelwerts beträgt Standardabweichung ÷ √n. Er zeigt, wie genau der Mittelwert geschätzt ist, und wird mit wachsender Stichprobe kleiner. Der Variationskoeffizient ist Standardabweichung ÷ |Mittelwert| × 100, ein einheitenfreies Maß für die relative Streuung.

Gerechnet wird mit dem Welford-Algorithmus: Mittelwert und Abweichungsquadratsumme werden Wert für Wert aktualisiert. Das vermeidet Rundungsfehler, die bei der Verschiebungsformel Σx² − (Σx)²/n auftreten können.

Beispiele

1. Füllmenge von Wasserflaschen

Bei der Qualitätskontrolle werden sechs 0,5-Liter-Flaschen nachgemessen: 498, 502, 500, 497, 503 und 501 ml. Als Stichprobe ergibt sich ein Mittelwert von 500,17 ml, eine Varianz von 5,37 und eine Standardabweichung von 2,32 ml. Der Standardfehler liegt bei 0,95 ml, der Variationskoeffizient bei 0,46 %.

2. Noten einer Lerngruppe

Sechs Studierende erhalten in einer Klausur 1,7; 2,3; 1,0; 3,0; 2,0 und 2,7. Da es um genau diese Gruppe geht, wählen Sie Grundgesamtheit: Mittelwert 2,12, Varianz 0,43 und Standardabweichung 0,66 Notenstufen.

3. Stichprobe oder Grundgesamtheit?

Für die Reihe 4; 8; 6; 5; 3; 7; 9 mit dem Mittelwert 6 macht die Wahl einen sichtbaren Unterschied:

Je größer n, desto kleiner wird der Unterschied zwischen beiden Varianten.

Ergebnis richtig deuten

Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie die Daten, die Varianz dagegen die quadrierte Einheit. Bei annähernd normalverteilten Daten liegen rund 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert und rund 95 % innerhalb von zwei. Bei schiefen Verteilungen oder Ausreißern gilt diese Faustregel nicht.

Den Variationskoeffizienten sollten Sie nur für Größen mit echtem Nullpunkt verwenden, etwa Gewichte, Preise oder Zeiten. Für Schulnoten oder Temperaturen in °C ist er nicht sinnvoll, weil der Nullpunkt der Skala willkürlich ist.