Varianz-Rechner
Der Varianz-Rechner zeigt, wie stark Ihre Werte um den Mittelwert streuen. Geben Sie eine Zahlenreihe ein, wählen Sie Stichprobe oder Grundgesamtheit und Sie erhalten Varianz, Standardabweichung, Mittelwert, Abweichungsquadratsumme und den verwendeten Nenner. Eine Tabelle zeigt den Rechenweg Wert für Wert – praktisch zum Nachrechnen von Hausaufgaben, Klausuraufgaben oder Excel-Tabellen.
Aktualisiert
Ergebnis
- StandardabweichungWurzel aus der Varianz
- Mittelwert
- Anzahl der Werte (n)
- AbweichungsquadratsummeΣ(x − Mittelwert)²
- Nennern − 1 bei Stichprobe, n bei Grundgesamtheit
| Wert (x) | x − Mittelwert | (x − Mittelwert)² |
|---|
Die Ergebnisse sind Schätzungen. Die Methodik finden Sie weiter unten.
So nutzen Sie den Rechner
- Werte eingeben: mit Semikolon getrennt oder einen pro Zeile, zum Beispiel
4,2; 3,9; 4,5; 4,1; 4,3. Eine kopierte Excel-Spalte funktioniert ebenfalls. - Dezimalkomma verwenden und keine Tausenderpunkte setzen:
1840,5statt1.840,5. - Art der Daten wählen: Stichprobe, wenn die Werte nur einen Ausschnitt bilden und Sie auf eine größere Gesamtheit schließen wollen. Grundgesamtheit, wenn alle Werte der betrachteten Gruppe vorliegen.
- Ergebnis ablesen: Varianz, Standardabweichung, Mittelwert, Anzahl, Abweichungsquadratsumme und Nenner (n − 1 oder n). Bei bis zu 100 Werten zeigt die Tabelle jede Abweichung und ihr Quadrat.
Für eine Stichprobe sind mindestens zwei Werte nötig, insgesamt bis zu 10.000.
Formeln der Varianz
Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert:
- Populationsvarianz (Grundgesamtheit):
σ² = Σ(xᵢ − μ)² ÷ n - Stichprobenvarianz:
s² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)
Der Zähler Σ(xᵢ − x̄)² heißt Abweichungsquadratsumme (auch Summe der Abweichungsquadrate, SAQ). Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz.
Bessel-Korrektur
Der Mittelwert einer Stichprobe liegt immer näher an ihren eigenen Werten als der unbekannte wahre Mittelwert. Teilt man durch n, wird die Streuung deshalb im Mittel unterschätzt. Der Nenner n − 1 korrigiert das und macht die Stichprobenvarianz zu einem erwartungstreuen Schätzer der Populationsvarianz. Die Wurzel daraus ist allerdings kein erwartungstreuer Schätzer der Standardabweichung.
Vorsicht bei den Begriffen: Je nach Lehrbuch meint „empirische Varianz“ die Variante mit n oder die mit n − 1. Achten Sie daher auf den Nenner, den der Rechner immer mit ausgibt.
Gerechnet wird mit dem Welford-Algorithmus, der Mittelwert und Quadratsumme schrittweise aktualisiert und so Rundungsfehler der Verschiebungsformel Σx² − (Σx)²/n vermeidet.
Beispiele mit Rechenweg
1. Messreihe Schritt für Schritt
Fünf Messungen ergeben 4,2; 3,9; 4,5; 4,1 und 4,3 mm. Der Mittelwert ist 4,2 mm.
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 4,2 | 0 | 0 |
| 3,9 | −0,3 | 0,09 |
| 4,5 | 0,3 | 0,09 |
| 4,1 | −0,1 | 0,01 |
| 4,3 | 0,1 | 0,01 |
Die Abweichungsquadratsumme beträgt 0,2. Als Stichprobe: 0,2 ÷ 4 = 0,05 mm², Standardabweichung 0,223607 mm. Als Grundgesamtheit: 0,2 ÷ 5 = 0,04 mm², Standardabweichung 0,2 mm.
2. Ein fairer Würfel
Die Augenzahlen 1 bis 6 sind eine vollständige Grundgesamtheit. Mittelwert 3,5, Abweichungsquadratsumme 17,5, Varianz 2,916667 und Standardabweichung 1,707825. Mit n − 1 käme fälschlich 3,5 heraus.
3. Tagesumsätze
Ein Café notiert an sechs zufälligen Tagen 1.840, 2.210, 1.975, 2.390, 2.105 und 1.960 €. Als Stichprobe ergibt sich ein Mittelwert von 2.080 €, eine Varianz von 39.330 €² und eine Standardabweichung von 198,32 €. Die Einheit „Euro zum Quadrat“ zeigt, warum man im Alltag meist die Standardabweichung berichtet.
Ergebnis einordnen
Die Varianz hat die quadrierte Einheit der Daten und lässt sich deshalb schwer direkt deuten. Ihr Vorteil: Für unabhängige Zufallsgrößen addieren sich die Varianzen, und auf ihr bauen Varianzanalyse (ANOVA) und Regression auf.
Eine Varianz von 0 bedeutet, dass alle Werte gleich sind. Weil Abweichungen quadriert werden, können einzelne Ausreißer das Ergebnis stark prägen. Ein Blick in die Tabelle zeigt, welcher Wert wie viel beiträgt.
Häufige Fragen
Wann teile ich durch n und wann durch n − 1?
Durch n − 1, wenn Ihre Daten eine Stichprobe sind und Sie die Streuung einer größeren Gesamtheit schätzen. Durch n, wenn alle Werte der betrachteten Gruppe vorliegen, etwa alle Noten einer Klasse.
Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Sie hat dieselbe Einheit wie die Daten, die Varianz die quadrierte Einheit, zum Beispiel € statt €².
Welche Excel-Funktionen berechnen die Varianz?
VAR.S liefert die Stichprobenvarianz (Nenner n − 1), VAR.P die Populationsvarianz (Nenner n). Sie entsprechen den beiden Optionen dieses Rechners.
Kann die Varianz negativ sein?
Nein. Sie ist ein Mittel aus Quadraten und daher immer null oder positiv. Null ergibt sich nur, wenn alle Werte gleich sind.
Warum braucht eine Stichprobe mindestens zwei Werte?
Bei einem Wert wäre der Nenner n − 1 gleich null; aus einer einzelnen Beobachtung lässt sich keine Streuung schätzen. Als Grundgesamtheit hat ein einzelner Wert die Varianz 0.
Wie berechne ich die Varianz von Hand?
Mittelwert bilden, von jedem Wert abziehen, die Differenzen quadrieren, aufsummieren und durch n − 1 oder n teilen. Die Tabelle des Rechners zeigt genau diese Schritte.
Quellen
Die Ergebnisse werden aus Ihren Eingaben berechnet und dienen der allgemeinen Information. Für wissenschaftliche Arbeiten oder Prüfberichte klären Sie bitte, welcher Schätzer und welche Rundung vorgeschrieben sind.