Calculadora de probabilidad

Cómo usar la calculadora

1. Elige el modo: dos sucesos independientes para combinar dos probabilidades, o ensayos repetidos si el mismo experimento se repite varias veces.
2. Introduce las probabilidades en porcentaje, de 0 a 100. Sacar cara con una moneda es 50; sacar un número concreto con un dado, 16,67.
3. En ensayos repetidos, indica el número de ensayos n (de 1 a 1.000) y el número de éxitos k que te interesa. k no puede ser mayor que n.
4. Consulta los resultados. En el modo de dos sucesos verás P(A y B), P(A o B), exactamente uno, ninguno y no A. En el modo de ensayos repetidos, exactamente k, como máximo k, como mínimo k, al menos uno y el número esperado de éxitos.

Fórmulas e hipótesis

Los dos modos suponen independencia: el resultado de un suceso no cambia la probabilidad del otro. Las tiradas de un dado o de una moneda son independientes; sacar cartas de la baraja sin devolverlas, no.

Dos sucesos independientes

• Ambos: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
• Al menos uno: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) · P(B)
• Exactamente uno: P(A) + P(B) − 2 · P(A) · P(B)
• Ninguno: (1 − P(A)) · (1 − P(B))
• Suceso contrario de A: 1 − P(A)

Ensayos repetidos (distribución binomial)

Si repites n veces un experimento con probabilidad de éxito p, la probabilidad de obtener exactamente k éxitos es:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

donde C(n, k) es el número combinatorio «n sobre k». P(X ≤ k) suma los términos de 0 a k, y P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k) + P(X = k). La probabilidad de al menos un éxito es 1 − (1 − p)ⁿ y la esperanza, n · p. La calculadora trabaja con logaritmos de factoriales para que los resultados sean exactos también con n grande.

Ejemplos

1. Sacar ficha en el parchís

En el parchís necesitas un 5 para sacar una ficha de casa. Con p = 16,67 %, n = 3 y k = 1, la probabilidad de conseguir al menos un 5 en tres tiradas es del 42,14 %, y la de sacar exactamente un 5, del 34,73 %. Es decir, algo más de la mitad de las veces seguirás esperando tras tres turnos.

2. Responder al azar dos preguntas tipo test

Cada pregunta tiene cuatro opciones, así que acertar por azar es un 25 %. Para dos preguntas:

3. Un test entero a ciegas

Un examen de 30 preguntas con tres opciones exige 27 aciertos para aprobar. Contestando al azar (p = 33,33 %), el número esperado de aciertos es 10 y la probabilidad de acertar exactamente 10 es del 15,30 %. La de llegar a 27 o más es inferior a una entre mil millones: estudiar sigue siendo la única estrategia.

Cómo interpretar los resultados

Una probabilidad describe lo que pasa a la larga, no en un intento concreto. Un 42 % de sacar un 5 en tres tiradas significa que, si repites la situación muchas veces, lo conseguirás en unas 42 de cada 100; en una partida concreta puede pasar cualquier cosa.

Comprueba siempre la hipótesis de independencia. Los resultados de un equipo en una mala racha, el tiempo de dos días seguidos o piezas del mismo lote defectuoso suelen estar relacionados, y multiplicar sus probabilidades infravalora la frecuencia con la que los malos resultados llegan juntos.