Calculatrice d'équation du second degré

Mode d'emploi

1. Mettez l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0, tous les termes d'un même côté. Par exemple, x² = 3x + 10 devient x² − 3x − 10 = 0.
2. Saisissez a (coefficient de x²), b (coefficient de x) et c (terme constant), avec leur signe. Mettez 0 pour un terme absent ; les nombres décimaux s'écrivent avec une virgule.
3. Lisez les solutions en haut. Les racines x₁ et x₂ et la forme factorisée n'apparaissent que si Δ ≥ 0.

Le coefficient a doit être non nul : sans terme en x², l'équation est du premier degré.

Méthode : le discriminant

On calcule d'abord le discriminant du trinôme :

Δ = b² − 4ac

• Δ > 0 : deux racines réelles distinctes, (−b − √Δ) / 2a et (−b + √Δ) / 2a ; la calculatrice appelle x₁ la plus petite.
• Δ = 0 : une racine double, x₀ = −b / 2a.
• Δ < 0 : aucune racine réelle ; dans ℂ, deux racines complexes conjuguées −b/2a ± i√(−Δ)/2|a|.

Le sommet affiché est le point S(α ; β) de la parabole, avec α = −b/2a et β = −Δ/4a. Il donne directement la forme canonique a(x − α)² + β. La forme factorisée est a(x − x₁)(x − x₂), ou a(x − x₀)² pour une racine double. Enfin, la somme des racines vaut S = −b/a et leur produit P = c/a.

Quand b est très grand devant a et c, la formule usuelle soustrait deux nombres presque égaux et perd en précision. La calculatrice calcule donc q = −(b + signe(b)·√Δ) / 2, puis x₁ = q/a et x₂ = c/q. Les valeurs sont arrondies à 10 chiffres significatifs.

Exemples corrigés

1. Δ > 0 : x² − 3x − 10 = 0

Avec a = 1, b = −3, c = −10, on obtient Δ = 49 = 7². Les racines sont x₁ = −2 et x₂ = 5, d'où la forme factorisée (x + 2)(x − 5). Le sommet est S(1,5 ; −12,25), donc la forme canonique s'écrit (x − 1,5)² − 12,25. Contrôle : somme 3, produit −10.

2. Δ = 0 : x² + 6x + 9 = 0

Δ = 0 et la racine double est x₀ = −3 : le trinôme est le carré (x + 3)², et la parabole touche l'axe des abscisses en son sommet (−3 ; 0).

3. Δ < 0 : 2x² − 4x + 5 = 0

Δ = −24 : l'équation n'a pas de solution réelle. Le sommet (1 ; 3) est au-dessus de l'axe et a > 0, donc le trinôme est toujours positif. Dans l'ensemble des nombres complexes, les racines sont x = 1 ± 1,224744871i, c'est-à-dire 1 ± i√6/2.

4. Une application en physique

Une balle lancée vers le haut à 20 m/s depuis 1,5 m a pour hauteur h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5 (avec g ≈ 9,8 m/s²). Les racines sont t ≈ −0,073670308 et t ≈ 4,155302961 : seule la racine positive a un sens, la balle touche le sol au bout d'environ 4,16 s. Le sommet (2,040816327 ; 21,90816327) indique une hauteur maximale d'environ 21,9 m.

Exploiter le résultat

Le signe du trinôme se déduit des racines : il est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Pour x² − 3x − 10, il est donc négatif sur ]−2 ; 5[ et positif ailleurs. Dans une copie, gardez les valeurs exactes (fractions, radicaux) : la calculatrice affiche des valeurs décimales arrondies, comme 2,414213562 pour 1 + √2.