Rechner für quadratische Gleichungen

So benutzen Sie den Rechner

1. Bringen Sie die Gleichung in die allgemeine Form ax² + bx + c = 0, also alles auf eine Seite. Aus x² = 5x − 6 wird x² − 5x + 6 = 0.
2. Tragen Sie a (vor x²), b (vor x) und c (ohne x) mit Vorzeichen ein. Fehlt ein Glied, geben Sie 0 ein; Dezimalzahlen mit Komma.
3. Oben stehen die Lösungen. Die Einzelwerte x₁ und x₂ und die Linearfaktoren erscheinen nur bei reellen Lösungen.

a darf nicht 0 sein, sonst fehlt das quadratische Glied und die Gleichung ist linear.

Mitternachtsformel und p-q-Formel

Die Mitternachtsformel (abc-Formel) gilt für jede Gleichung ax² + bx + c = 0:

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Die p-q-Formel setzt die Normalform x² + px + q = 0 voraus. Teilen Sie dazu durch a, also p = b/a und q = c/a:

x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Beide Formeln liefern dieselben Lösungen. Über deren Anzahl entscheidet die Diskriminante D = b² − 4ac (in der p-q-Formel der Term unter der Wurzel, (p/2)² − q):

• D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen.
• D = 0: eine doppelte Lösung x = −b/2a.
• D < 0: keine reelle Lösung; in ℂ zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Der Scheitelpunkt ist S(−b/2a | −D/4a), daraus folgt die Scheitelpunktform a(x − d)² + e. Nach dem Satz von Vieta gilt x₁ + x₂ = −b/a = −p und x₁ · x₂ = c/a = q.

Ist b sehr groß gegenüber a und c, verliert die Formel durch Auslöschung an Genauigkeit. Der Rechner bestimmt deshalb zuerst q* = −(b + sgn(b)·√D) / 2 und dann x₁ = q*/a, x₂ = c/q*. Angezeigt werden 10 signifikante Stellen, in den Textausgaben mit Dezimalkomma und echtem Minuszeichen, ohne Zehnerpotenzen und ohne Tausenderpunkte. Ist eine Lösung 0, erscheint in der Zerlegung der Faktor x, etwa x(x − 4).

Rechenbeispiele

1. Normalform: x² − 5x + 6 = 0

Hier ist p = −5 und q = 6. Unter der Wurzel steht (p/2)² − q = 6,25 − 6 = 0,25, die Wurzel ist 0,5, also x = 2,5 ± 0,5. Der Rechner bestätigt: x₁ = 2; x₂ = 3, Linearfaktoren (x − 2)(x − 3), Scheitelpunkt S(2,5 | −0,25), im Rechner als (2,5; −0,25) angezeigt. Vieta: 2 + 3 = 5 = −p, 2 · 3 = 6 = q.

2. Erst durch a teilen: 2x² − 8x + 6 = 0

Für die p-q-Formel teilen Sie durch 2: x² − 4x + 3 = 0, also p = −4, q = 3. Mit der Mitternachtsformel ist D = 16. Beide Wege ergeben x₁ = 1; x₂ = 3; die Zerlegung lautet 2(x − 1)(x − 3).

3. Keine reelle Lösung: x² − 6x + 13 = 0

D = −16, die Parabel mit Scheitel (3 | 4) öffnet nach oben und schneidet die x-Achse nicht. Im Komplexen lauten die Lösungen x = 3 ± 2i.

4. Senkrechter Wurf

Ein Ball wird aus 1,5 m Höhe mit 20 m/s nach oben geworfen: h(t) = −4,9t² + 20t + 1,5. Die Nullstellen sind t ≈ −0,073670308 und t ≈ 4,155302961. Nur die positive Zeit ist sinnvoll, der Ball landet nach rund 4,16 s. Der Scheitelpunkt (2,040816327 | 21,90816327) zeigt die maximale Höhe von etwa 21,9 m.

Ergebnis prüfen und deuten

Mit Vieta kontrollieren Sie Ihre Lösungen schnell: Summe und Produkt müssen −b/a und c/a ergeben. Bei Sachaufgaben entscheidet der Kontext, welche Lösung gilt; negative Zeiten oder Längen fallen meist weg. Der Rechner zeigt gerundete Dezimalzahlen. Wird ein exaktes Ergebnis verlangt, schreiben Sie Wurzeln aus, etwa ±√2 statt ±1,414213562.